三参数逻辑斯蒂模型

    三参数逻辑斯蒂模型 :

教育测量普遍采用以多数题目为选择题形式的标准化考试。选择题的优势是便于考试的标准化，具有作答方便、评分简单等突出优点，但是这种形式很容易导致作答者采用猜测的作答方式，从而削弱考试的信度与效度。处理方式是：提高出题的质量、减少作答者猜测的可能和采用统计模型进行事后的调整，3PL模型就是一种进行事后调整的统计技术。自A.伯恩鲍姆于1968年介绍3PL模型以来，它就成为教育与心理测量领域分析选择题最重要的数据分析模型之一，同时猜测参数的大小也成为衡量项目质量的指标之一。

3PL的数学表达式如下：

式中为作答者在项目上的作答；为项目的区分度参数；为项目的难度参数；为项目的猜测参数；为常数1.701。如果把参数设为0，3PL就变成了二参数模型；如果进一步把项目区分度参数设定为1，就得到了一参数模型。

有关这个模型最大的理论问题是如何对参数命名，现用的“猜测参数”一词是在3PL模型的发展使用过程中逐渐形成的，但这个术语在考试领域曾经引发较大争议。伯恩鲍姆最初引入这个参数的初衷是用来处理低能力作答者在简单题上不得零分的现象。“猜测”在一般情况下指的是作答者只是纯粹地采用了“猜测”策略，但实际情况下作答者一般都会不同程度的利用自己已有的知识进行“有策略的猜测”，采用这种猜测策略会导致大部分作答者的猜测概率低于随机猜测概率。因此，H.斯瓦米纳坦、R.K.汗米布顿和H.J.罗杰斯在1991年的时候将其称为“伪随机参数”,后M.D.雷卡斯在2009年将其命名为“下渐近线参数”。

除此之外，3PL参数模型面临的另一个难题是参数估计问题。项目反应理论模型的参数估计一般是通过期望最大算法得到极大似然估计。近年来贝叶斯估计逐渐流行起来，相关的算法包括贝叶斯EM算法与MCMC（Markov Chain Monte Carlo）算法。在参数估计的实践中，极大似然估计具有良好的统计学性质，可以避免贝叶斯方法中先验分布选择、MCMC算法中收敛检验等问题，是参数估计的首选。但是，在3PL中项目参数很难得到准确的估计，对猜测参数的估计尤为困难。2004年，有学者指出，与一参、二参数项目反应理论模型相比，3PL的项目特征曲面非常平缓，参数估计中使用的似然函数很难达到极值点。1982年，D.西森和H.威纳具体计算了主要项目反应理论模型的参数估计标准误。三参数模型的极大似然估计误差比单一参、双参模型要大很多，因此需要的被试量至少要高达10000人（中等难度及以上的项目）甚至100000人（容易的项目），而其他两个模型只需要500～1000人就能满足现实的需求。因此，西森和威纳建议采用贝叶斯方法来解决这个难题。在实践中，研究者从贝叶斯方法的角度给出了多种成功的解决方法。项目反应理论模型软件Bilog就采用了贝叶斯EM算法来对3PL进行参数估计。由于这个软件的推广，贝叶斯EM算法逐渐成为解决这个难题最具影响力的参数估计方法。近年来，还有部分研究者采用了固定猜测参数来提高参数估计准确性的方法，这种处理方法也可以被解读为一种贝叶斯方法，因为它把每个项目的猜测参数固定为一个值，相当于给它一个相当强的先验分布。目前，还没有EM算法能够利用小样本获得3PL稳定性良好的极大似然估计。

随着项目反应理论的日益发展，一些复杂模型中也出现了三参数形式，比较重要的有三参数题组模型、三参数多维项目反应理论模型等。这些复杂模型一般都采用MCMC算法进行参数估计。