理想掌握模式

    理想掌握模式 :

理想掌握模式是一个列（为属性个数）的0～1矩阵，“1”代表被试掌握了该属性，“0”代表未掌握。

我们以下图中4个属性的层级关系为例加以说明。如果不考虑属性间的阶层关系（也即假设没有任何关系），那么4个属性理论上被试所有可能的掌握模式共有2⁴=16种，详见下表。

理想掌握模式4个属性间的层级关系

4个属性所有可能的掌握模式（16种）表

根据上图属性间的层级关系可知，掌握属性A2要以掌握属性A1为前提，即只有掌握了属性A1才有可能掌握属性A2。因此掌握模式（0100）是不合逻辑的，其余依此类推。由此可发现，所有可能的16种掌握模式只有7种是符合图中逻辑关系的（即表中有阴影的模式）。因此，根据上图只能得到7种被试理想掌握模式（也称知识状态）：即（0000）、（1000）、（1100）、（1001）、（1101）、（1110）、（1111）。

理想掌握模式的计算可以通过属性层级结构图直接得出，此时应按照从上到下的顺序依次找到每个节点可能的路径，一直到节点最末端的属性为止，为一种完整的属性掌握模式。

但是当属性个数较多时，仅用人工根据逻辑关系进行判断比较费时，此时应采用扩张算法。该方法以R矩阵为基础，R阵的每列就代表一种掌握模式。从R阵的第1列开始循环，分别与后面所有的列进行布尔加法（即1+1=1，1+0=1，0+0=0），若出现与前面不同的新列（即新的掌握模式），则在R阵后面加上该新列（否则不加），直至所有的列循环结束。循环结束后在新的矩阵上再增加全为0的列（即全部未掌握的模式），该矩阵的所有列即为理想掌握模式。继续以上图中的层级关系为例：

①从第1列开始循环与随后其他列进行布尔加，可得：

新增的3列与前面的列均有重复，因此不加入R阵中，因此第1次循环后仍是R阵本身，即R1=R。

②从第2列开始循环进与随后第3、4列行布尔加可得：

新增的两列中，（1110）与前面的列有重复，因此（1110）不再加入R1阵。（1101）与前面的所有列没有重复，因此加入R1阵。这样R2共有5列，如下：

③从第3列开始循环进与第4、5列进行布尔加可得：

新增的两列都为（1111），且与前面的列无重复，因此（1111）加入R2的后面，则R3共6列，如下：

④从第4列开始循环进与第5、6列进行布尔加，无新的列生成，即R4=R3。

⑤从第5列开始循环进与第6列进行布尔加，也无新的列生成，即R5=R4。

循环结束，再加上全部未掌握的（0000），R5共7列，如下：

由此可知，被试的理想掌握模式共7种。分别为（0000）、（1000）、（1100）、（1001）、（1101）、（1110）、（1111）。